作为黑箱抽象的过程

过程即抽象

到目前为止，我们定义过的函数都是各自完成单一计算的（例如 square、fib 和 factorial）。你也可以把不同的函数组合起来，创造出复杂得多的函数，让每个函数负责原问题的一个子问题。本节将以这样一个函数为例，探讨”函数即抽象”的思想。

扩展示例：最大正方形

Charlie 有大量块状（不是排状）巧克力，他想把这些巧克力块摆成尽可能大的正方形阵列，好在朋友们面前炫耀！假设 Charlie 有 13 块巧克力，那么能摆出的最大正方形是 3x3 = 9（如左图所示），还剩下 4 块。

Charlie 想知道：“给我一定数量的巧克力块，我的正方形边长最大能是多少？“我们可以把这个问题表示为一个函数 (largest-square total guess)。largest-square 接受两个实参：total 表示 Charlie 有多少块巧克力（在上面的例子中，total 是 13）；guess 表示你对最大边长的初始猜测。这个函数将输出你的巧克力正方形能有的最大边长（这个例子中是 3）。我们将把这个函数拆分成若干子问题，并在本节剩余部分把它们拼装起来。

最大正方形：概览

有一点看起来可能有点奇怪，那就是 guess 这个实参似乎是多余的。你完全可以只用一个 total 实参写出同样功能的函数。我们加入 guess 是为了给这个问题增加一点额外的复杂度。可以把 guess 看作 Charlie 对边长上限的估计。在 13 块巧克力的原始例子中，假设 Charlie 猜测最大边长是 2：

guess	leftover	next guess
2	13-4 = 9	2+1 = 3
3	13-9 = 4	3+1 = 4
4	13-16 = -3	4+1 = 5

对于每次 largest-square 的函数调用，例如 (largest-square 13 2)，我们都要检查当前的猜测（这里是 2）是否已经足够好。怎么判断猜测是否足够好呢？如果下一个猜测所需的巧克力块数超过我们现有的数量，那么当前猜测就足够了。如果我们还能猜得更好，就用下一个猜测递归调用 largest-square。

最大正方形：骨架代码

基于上面的直观认识，我们可以把函数定义正式写出来。如果 guess 已经足够好，就返回 guess；如果还能有更好的 guess，就用更好的 guess 调用 largest-square：

(define (largest-square total guess)
  (if (good-enough? total guess)
      guess
      (largest-square total (next-guess guess))))

如果你原样输入上面的定义（没有定义 good-enough? 和 improve-guess），会发生什么？

如果之后再输入 (largest-square 13 2)，会发生什么？

“等等等等，你刚定义了一个函数，但它调用了其他还没定义的函数！我们还没有定义 good-enough? 或 improve-guess！”

没错，里面用到的函数定义还不完整，但请注意，我们（程序员）能看懂这个函数在做什么！我们已经把”寻找最大正方形”的问题分解成了若干小问题，比如”够接近了吗？“和”改进我们的猜测”。我们本可以按别的方式拆分代码，比如每 3 行或每 5 行一块，但那样每个子问题就没有明确的任务了。把代码拆成连贯的、可辨识的任务，这一点至关重要。

这个重要思想我们在末尾还会再次探讨，但首先让我们把定义补完整。

最大正方形：子问题

是时候做必要的功课，让这个函数真正跑起来了！

(define (largest-square total guess)
  (if (good-enough? total guess)
      guess
      (largest-square total (next-guess guess))))

问题：

我们要定义函数 good-enough?，它接受两个输入：total（你拥有的巧克力块总数）和 guess（你当前的猜测）。当下一个整数所需的块数超过 total 时，它应该报告 #t，否则报告 #f：

(good-enough? 13 3) 应返回 #t。下一个猜测是 3+1=4，需要 16 块，超过了总数 13。

(good-enough? 13 2) 应返回 #f。下一个猜测是 2+1=3，需要 9 块，仍低于总数 13。

(good-enough? 100 11) 应返回 #t。下一个猜测是 11+1=12，需要 144 块，超过了总数 100。

(good-enough? 100 10) 应返回 #t。下一个猜测是 10+1=11，需要 121 块，超过了总数 100。

(good-enough? 100 9) 应返回 #f。下一个猜测是 9+1=10，需要 100 块，正好等于总数 100。

选择用什么代码填入空白：

(define (good-enough? total guess))
    ________________________)

接下来我们定义函数 next-guess，它接受你当前的猜测，返回下一个要尝试的数：

(next-guess 1) ;; 应返回 2
(next-guess 3) ;; 应返回 4

选择用什么代码填入空白：

(define (next-guess guess)
    ________________________)

函数即抽象

从正方形巧克力的例子中，我们能学到什么呢？回想一下，当我们第一次只定义 largest-square 时，我们就能理解这个过程在做什么，而不必真的知道 good-enough? 或 next-guess 是怎么实现的。我们可以认为这些函数对我们而言是抽象出来的：我们知道它会输出什么，但不在乎它是怎么实现的。只要它们行为正确，我们就满意了！

这个道理在生活中同样适用。打开电视时，我们从来不会想”哦，电视能看是因为我们让电子穿过屏幕，电子在电磁场引导下让我们看到图像！“。我们通常想的是”我按这个按钮，就能看电影了”。我们不需要知道电视怎么工作就能使用它；它的实现细节对我们而言是抽象掉的。

内部定义

我们已经定义了一个相对复杂、依赖其他过程的过程。现在看看能不能改进代码的组织方式！

请注意，我们对 good-enough? 和 next-guess 的定义非常专属于 largest-square 这个问题，很难找到别的函数会用到它们。而且，当 Charlie 想求最大正方形时，他会调用 largest-square 函数，而不会直接使用这两个辅助函数。在这种情况下，最好这样组织代码：只有 largest-square 能访问这两个辅助函数。

怎么做呢？我们可以在 largest-square 的过程体内部定义这些函数，如下所示：

(define (largest-square total guess)
    (define (next-guess guess) (+ guess 1))
    (define (good-enough? total guess)
        (< total (square (next-guess guess))))
    (if (good-enough? guess)
        guess
        (largest-square total (next-guess guess))))

如果你只定义了上面的过程，那么调用 (next-guess 4) 时会发生什么？

变量的作用域

(define (largest-square total guess)
    (define (next-guess guess) (+ guess 1))
    (define (good-enough? total guess)
        (< total (square (next-guess guess))))
    (if (good-enough? guess)
        guess
        (largest-square total (next-guess guess))))

前面我们说过，good-enough? 和 next-guess 只定义在 largest-square 函数内部。既然这些函数在 largest-square 里面了，我们就可以把其他冗余的部分也去掉。注意，next-guess 和 good-enough? 接受的 total 和 guess 与传进 largest-square 的是同一组值。把两个辅助函数中冗余的实参去掉后，得到：

(define (largest-square total guess)

    (define (next-guess) (+ guess 1))
    (define (good-enough?)
        (< total (square (next-guess))))
    (if (good-enough?)
        guess
    (largest-square total (next-guess))))

如何搞清楚一个函数能访问什么、不能访问什么？我们将在 Unit 3 中用大量篇幅讨论这个问题。当一个函数定义在另一个函数内部时，里面的函数可以访问外层函数的变量和形参。因为 next-guess 定义在 largest-square 内部，所以 next-guess 可以访问 largest-square 的形参 total 和 guess。

如果你觉得助记口诀有用，可以把外层函数想象成家长，内层函数想象成婴儿。家长可以把东西借给婴儿（比如手机），但婴儿不会让家长拿走他的玩具。